Anvendelsesorientering i matematik er motiverende

I bogen Fagdidaktik i matematik (Blomhøj, M., 2016) præsenterer Morten Blomhøj fem principper for almen dannelse i matematikundervisning. Principperne er oprindeligt opstillet af den engelske uddannelsesfilosof R. S. Peters som en generel bestemmelse af et fags bidrag til almendannelsen.
Det første princip angiver, at det enkelte fag må sigte på at bidrage til udvikling af færdigheder, viden og kompetencer, der er relevante og potentielt brugbare i relation til de udfordringer et almindeligt liv indebærer.

Identitet og formål

Avu-bekendtgørelsen for matematik indeholder beskrivelsen af fagets identitet, formål og begreber. Den hægter sig fint på det almendannede, når det fx er en del af formålet, at kursisterne skal gives bedre mulighed for aktivt at anvende matematik i hverdagslivet. Det skal ske på baggrund af en undervisning, der skal udvikle kursisternes matematikkompetencer.

En matematikkompetence er handlingsorienteret. Det betyder, at kursisten skal være i stand til at bruge sine matematiske færdigheder og viden i forhold til bestemte typer af faglige udfordringer,  som netop matematik kan anvendes til at løse.

Det forsøges derfor via formuleringerne af Identitet og Formål at undgå, at matematikundervisningen bliver reduceret til begreber og metoder til løsning af standardopgaver i enkelte, udvalgte matematiske emner. Undervisningen skal i langt højere grad tage udgangspunkt i en anvendelsesorienteret tilgang til faget.

Motivation og anvendelsesorientering

Det er derfor denne artikels ærinde at begrunde, beskrive og eksemplificere undervisningsformer, der kan motivere og inspirere lærere og kursister til at arbejde undersøgende og eksperimenterende med matematikfaget i anvendelsesorienterede sammenhænge.
På den måde kan kursisterne finde motivation til og mulighed for at udvikle færdigheder, viden og kompetencer, der er potentielt brugbare i relation til de udfordringer et almindeligt liv indebærer - med tilføjelsen som borger og som deltager i et arbejdsfællesskab.

Anvendelsesorientering er motiverende

Danmarks Evalueringsinstitut (EVA, 2019) har udarbejdet en guide til anvendelsesorienteret undervisning med begrebsafklaring og refleksionsspørgsmål. Anvendelsesorientering er et stærkt parameter i forhold til motivation af kursisterne:
Mange kursister i voksenundervisning og -uddannelse motiveres af, at den undervisning, de møder, direkte adresserer noget, de har lyst til at lære om, interesserer sig for og er engagerede i. Det kan være noget, de har indset, at det vil være godt for dem at lære for at opnå noget, de ønsker. Mange voksne motiveres også af at finde ud af, hvordan det, de lærer i undervisningen, kan bruges i deres liv.

Fire typer kontekst og tre dimensioner
På alle avu-matematikkens niveauer står som det første om fagets identitet:
I avu-matematik arbejdes der med praktiske og anvendelsesorienterede emner fra hverdagslivet og samfundslivet gennem modellering og problembehandling.

Med udgangspunkt i fire typer af kontekster:

1. Arbejdsmarkedskontekst
2. Uddannelseskontekst
3. Samfundskontekst
4. Hverdagskontekst
folder EVA-dokumentet Anvendelsesorienteret undervisning (EVA, 2019)  forskellige tilgange til at koble fag og kontekst sammen i tre dimensioner.
Læreren bør indtænke de tre dimensioner i sin undervisning:

Åben, undersøgende  og eksperimenterende!?

De tre ord anvendes ofte i forbindelse med arbejdet i matematik med en undersøgende tilgang. Der er ingen fastdefineret, entydig definition på de begreber, når de anvendes i forbindelse med matematikundervisningen. I denne artikel anvendes åben som signal til, at opgaveformuleringen overlader nogle beslutninger til de kursister, der skal løse opgaven. En opgave som fx ”I skal designe en emballage, der skal indeholde 1 liter” er åben, fordi kursisterne skal tage beslutninger om både form og mål for at kunne give et forslag til emballagen.
Som en del af at arbejde undersøgende, skal kursisterne ofte arbejde eksperimenterende.

Undersøgende matematikundervisning i praksis

I tilrettelæggelsen af et undersøgende undervisningsforløb kan en trefaset struktur være en stor hjælp for lærerens tilrettelæggelse og gennemførsel af undersøgende forløb:
(1) Iscenesættelsen, (2) Kursisternes undersøgende arbejde og (3) Fælles refleksion og faglig læring.

1. Iscenesættelsen
Det er en kompetence at kunne handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. For at give kursisterne mulighed for at mestre den kompetence må den enkelte opgave præsenteres i en kontekst, så det er kursisterne, der får udfordringen til og fornøjelsen af at være dem, der afgrænser og formulerer problemer, opsøger information, stiller spørgsmål, danner hypoteser, opstiller modeller samt diskuterer med hinanden og læreren.
Det stiller krav til læreren, der via en opgaveformulering sætter scenen for undervisningen. Iscenesættelsen bør være andet end en gold opgave på A4 papir.

I Matematikmorgener (2006) består iscenesættelsen af et brev til kursisterne med ønsker og krav til form og indhold. I Farlige små tal (2006), der handler om risikoen for at få æg med salmonella, indgår en indkøbsvogn med 500 fotohylstre med gule eller blå centicubes som blommer i iscenesættelsen, og i Jyske fliser forever (2019) består iscenesættelsen dels af en mail til klassen fra skolelederen og dels af et besøg af ’repræsentanten’ fra Jyske fliser, der medbringer en model af Cairoflisen i et stort antal.

En god iscenesættelse skaber motivation hos dem, der skal arbejde med den undersøgende problemstilling, og læreren får skabt et rum for dialogisk samspil i klassen ved at stille åbne og nysgerrige spørgsmål, inspirere og støtte, udbygge og sammenkæde kursisternes erfaringer, samt fastholde dem i systematiske undersøgelser.

2. Kursisternes selvstændige og undersøgende arbejde
At arbejde undersøgende kræver tid, frihed og støtte til at kunne etablere et samarbejde, hvor kursisterne kan arbejde selvstændigt med problemet. Det betyder ikke, at kursisterne er overladt til sig selv i arbejdsprocessen - tværtimod kræver den undersøgende arbejdsform både lærerstøtte og dialog mellem deltagerne.

I Trenger en å spørre for at være spørrende (2012) diskuterer forfatterne, hvad det kan betyder at være undersøgende og spørgende i læringssamtaler i klassen i matematik.

Her argumenteres for at anvende spørgende udsagn, fx ” Kunne det tænkes….?”, ”Hvad nu hvis….?” og ”Hvordan kan det være, at….?.

Spørgende udsagn er tentative - de er dvælende, nølende og udforskende.

3. Fælles refleksion og faglig læring
Det undersøgende arbejde indebærer opbygning af en fælles faglig viden med et fælles fagsprog, der kan medvirke til etablering af forbindelser til tidligere erfaringer og etableret viden. Erfaringerne fra det undersøgende arbejde og resultater og refleksioner fra forløbet skal systematiseres og gøres fælles, men erfaringerne viser også, at det er det punkt, der bruges mindst tid og opmærksomhed på.
Læreren bør derfor tage ansvar for, at de faglige pointer, der er indeholdt i det undersøgende arbejde, bringes op i fællesskabet. Det kan dels gøres på baggrund af de observationer, læreren har foretaget under forløbet og dels med udgangspunkt i de kursistfremstillede besvarelser og produkter.
Kursisterne kan præsentere deres løsningsforslag for hinanden med fokus på de faglige pointer i par, i grupper, i plenum eller på en digital platform, som fx en padlet. De kan også formulere oplæg med opgaver til hinanden med udgangspunkt i det lærte.
 

Fire kategorier af tilgange til konstruktion af undersøgende opgaver og oplæg

En matematikopgave med undersøgende potentiale kan anskues her med fire forskellige tilgange:
et rent matematisk indhold, et tematisk indhold, en modelleringssituation og en autentisk modellering med kritisk potentiale.
 
Rent matematisk
Det centrale er her at fokusere på det, der skal læres – og finde den rette undersøgende situation, som kan bringe det konkrete matematiske begreb i spil.
Eksempler kan være arbejde med trekanter og trekantuligheden, fx med et reb som hjælpemidlet eller rumfang, hvor opgaven kan være at designe en liter.

Tematisk
Genstanden for undersøgelsen kan være et tema, fx Matematikmorgener, hvor der undersøges hvilken matematik, der kan være indeholdt i en morgen - fra kursisten  vågner helt frem til, at undervisningen begynder eller Min matematiske  cykel.
Her er det temaet, der er i fokus, og så skal forskellige matematiske discipliner bidrage med at beskrive det.

Modelleringssituation
Her er autenticiteten helt central. Det, der skal undersøges, skal have helt reel omverdens-karakter, og det skal kunne undersøges med matematik.
Eksempler her kan være en undersøgelse, om et værelse skal males eller tapetseres, eller hvad det koster at tage på sommerferie.
 

Autentisk modelleringssituation med kritisk potentiale
Her giver anvendelsen af matematik anledning til at diskutere modellerne ud fra bestemte holdninger og indse, at matematik kan bruges med bestemte formål. Derigennem har matematikken et kritisk potentiale.
Eksempler kan være en undersøgelse om, fx hvorvidt det kan betale sig for kursister at forsikre deres cykler sammen eller om fordelingen af børnepenge er retfærdig?
(Skovsmose, 1997)

I alle disse fire beskrevne tilfælde er det selvfølgelig vigtigt for kursisternes motivation, at målet med aktiviteten er klar - at de er helt klar over, hvad er det er for en matematik, der skal læres!?

Opgaver og oplæg

Det er med baggrund i refleksion i forbindelse med alle de nævnte elementer for undervisning, at læreren kan designe oplæg til kursisterne. Refleksionerne kan både suppleres og understøttes med de tanker, den hollandske matematikdidaktiker Hans Freudenthal angav som grundlag for den matematikundervisning, som benævnes som RME - Realistic Mathematics Education.
De tanker er helt i tråd med et ønske om, at arbejde med oplæg og opgaver i matematik kan motiveres af anvendelses-aspektet, når læreren vælger
- at udvikle oplæg til aktiviteter, der åbner for muligheden af, at kursisterne kan matematisere kontekster, der for dem er reelle
- at præsentere konteksterne i deres virkelige kompleksitet
- at vælge kontekster, så de i tilstrækkeligt omfang fører frem mod forståelse og færdigheder, der betragtes som centrale i faglig forstand.
(Delta, 2008)

På denne måde sluttes ringen med matematik og anvendelsesorientering, hvor fagets bidrag til almendannelsen er at bidrage til udvikling af færdigheder, viden og kompetencer, der er relevante og potentielt brugbare i relation til de udfordringer et almindeligt liv indebærer.

Referencer

Albrechtsen, L., Lindstrøm, J. & Skånstrøm, M. (2019): Jyske fliser forever. I Matematik 3, 2019, Temanummer: Undersøgelser i matematik.

Alrø, H. og Johnsen-Høines, M. (2012): Trenger en å spørre for at være spørrende?. I: Alrø, H. & Johnsen-Høines, M.: Læringssamtalen i matematikkfagets praksis. Bok 1. Caspar Forlag.

Alrø, H,, Blomhøj, M., Bødtkjer, H., Skovsmose, O. og Skånstrøm, M.(2006): Farlige små tal - almendannelse i risikosamfundet.

AVU matematik (2019): Identitet, læreplan og vejledninger.

Bjerre, E & Pind, P. (2019): Modellering og estimering i matematikundervisningen. Forlaget Pind og Bjerre.

Blomhøj, M. og Skånstrøm, M. (2006): Matematikmorgener - modellering i praksis. I: Blomhøj og Skovsmose, O.: Kunne det tænkes. Forlag Malling Beck.

Blomhøj, M. (2016): Fagdidaktik i matematik. Frydenlund.

Blomhøj, M. og Skånstrøm, M. (2016): Det kommer an på. I: Alrø, H. og Ragnes, T.E (red.): Matematikk for framtida, Caspar Forlag.

EVA, Danmarks Evalueringsinstitut (2019): Anvendelsesorienteret undervisning motiverer kursister. 

Hansen, H. C., Jess, K. og Skott, J. (2008): Hans Freudenthal og realistisk matematikundervisning. I: Delta - Matematik for lærerstuderende - Fagdidaktik, kapitel 10.

Pind, P. (2015): Åben og undersøgende matematik. Forlaget Pind og Bjerre.

Skovsmose, O. (1997): Kritisk matematikundervisning. I: Blomhøj, M. og Nissen, G. (red.): Hul i kulturen, Spektrum.

Thomsen, P.N. og Skånstrøm, M. (2017): Hvad kommer det an på. I: Henriksen, R.G. (red.): Feedback i matematik. Dafolo.

Kreditering

Artiklen er udarbejdet af Mikael Skånstrøm, lektor i læreruddannelsen og pædagogisk diplomuddannelse - december 2019